Lemma

若实数 满足存在整数列 使得 且对于任意有限的 ，，则 为无理数。

证明：

考虑原命题的逆否命题，对于任意有理数 ，不存在整数列 使得 且对于任意有限的 ，。

任取 ，使得 ，即 ，则 ，因此 。

故 ，证毕。

这里给出一个 为无理数的证明。

根据泰勒展开式，有

则

显然有 均为有理数，且 ，故 为无理数。