考虑数列 ，首项为 ，且对于 ，满足

求数列通项。

(A)

此时递推数列变为

(a)

此时数列为等差数列，满足

(b)

在数列递推式两侧同时加 ：

因此 为公比为 的等比数列

故

(B)

(a)

此时递推公式变为

(1)

显然此时为常数列

(2)

此时满足 。

因此可以在递推公式两侧同时取倒数：

此时 为 型，需要分两种情况讨论。

(i)

此时 是公差为 的等差数列。

因此

(ii)

由 中的结论，

(b)

此时有

等式两侧同时加 ：

(i)

显然此时数列为常数列。

(ii)

此时等式不等于零，将等式两侧同时取倒数：

令 ，则 。

因此 构成公差为 的等差数列。

(c)

令 为 的根，根据假设，，则：

(i)

此时容易验证数列为常数列。

(ii)

容易验证 。

因此

假设 ，两式作比，

注意到

由于 是 的根，

代入递推式：

因此 构成等比数列，公比为 。

整理得

令 ，