本质上是对裂项求和的系统化和机械化。

引入：裂项求和

对于数列 ，我们希望求它的前 项和数列 。

其中一个方法是将 的生成函数乘上 ，但是这个方法有时较为笨重。

考虑一个小学奥数做法，假如我们可以求出数列 使得 ，那么我们的求和变为：

这种做法被称为裂项求和（裂项相消法）。

换句话说，我们其实是直接“注意”到了 的前缀和数列 。

例如，对 求和，我们将其转化为 ，立即得到和为 。

由于前缀和与差分的关系类似微积分基本定理，我们考虑将微积分的内容类比到数列差分上。

定义

位移算子

类似地， 就是 阶位移

差分算子

类似地， 为 阶差分

另外，显然有 。

求和算子

求和算子是隐式定义的：

因此，求和算子与差分算子互为逆运算，即 。

定和式

有限微积分的定求和是左闭右开的：

这是为了满足

以及

同时指出，这里定和式的形式不要求 。

差分的运算法则

加法法则

直接套用定义即可证明。

减法法则

本质与加法法则相同：

数乘法则

这里 为与 无关的常数。

仍然直接套用定义即可。

乘法法则

这里可以通过插入中间项 证明。

定和式的运算法则

重新强调一次定义：

由裂项求和法，有

套用定义，易证明以下性质：

常见数列的差分

常数列

一次/等差数列

指数函数

下降幂

定义下降幂：

则有

下降幂与普通幂的互化

前置知识-斯特林数

（无符号）第一类斯特林数（斯特林轮换数），，也可记做 ，表示将 个两两不同的元素，划分为 个互不区分的非空轮换的方案数。

第二类斯特林数（斯特林子集数） ，也可记做 ，表示将 个两两不同的元素，划分为 个互不区分的非空子集的方案数。

根据组合意义，有递推公式：

其中第二类斯特林数可以利用二项式反演得到通项公式：

阅读 OI-wiki 或 维基百科 的页面获取更多信息。

利用第二类斯特林数，可以将普通幂转化为下降幂：

利用第一类斯特林数，可以将下降幂转化为普通幂：

这里 被称为有符号第一类斯特林数，记作 。

并且

组合数

常见数列的定和式

等比数列

求 。

首先考虑指数函数的差分

因此

等差数列

求 。

首先，

因此：

TODO