本文下标从 开始。

形式上，定义 为其自身的 阶前缀和，记为 。

定义 的 阶前缀和 为其 阶前缀和 的前缀和，即：

依此亦能定义数列的负数阶前缀和（也称差分），不作讨论。

以共差 ，首项 的等差数列为例，显然有 。

考虑其 阶前缀和的通项公式。

首先，注意到：

• 时，有 ；
• 时，有 ；

故猜测：

考虑数学归纳，已经验证， 时，结论正确，假定 时结论正确，即

考虑证明：

只需证明：

考虑组合意义，可以发现上式显然成立。

如果能注意到网格图中的路径计数问题，也可以快速推导出这个结论。

也可以考虑使用母函数证明。

考虑数列 ，通项为 ；显然其前缀和为 ；其母函数为：

注意到求数列的前缀和等价于与 求卷积，因此若数列的母函数为 ，其前缀和的母函数为 。

因此 的母函数为

使用二项式定理展开：

因此：